21.05 АЛГ

Заключительный урок за курс 7 класса. Линейная функция  и ее график.

Частные случаи линейных функций

Отдельно рассматривают два частных случая линейной функции :

1. ,
2. .

Если , то функцию  называют прямой пропорциональностью. Ее график всегда проходит через начало координат. Например,  (Рис. 11).

Рис. 11. Графики прямой пропорциональности

О втором типе линейных функций мы поговорим чуть позже.

Угловой коэффициент 

Название углового коэффициента  неслучайно: в зависимости от его значений будет изменяться угол наклона прямой по отношению к положительному направлению оси абсцисс.

1.  – угол наклона острый.

Рассмотрим на примере функции  (Рис. 12).

Рис. 12. Угловой коэффициент 

2.  – угол наклона тупой.

Рассмотрим на примере функции  (Рис. 13).

Рис. 13. Угловой коэффициент 

3.  – прямая параллельная оси абсцисс.

Рассмотрим на примере функции  (Рис. 14).

Рис. 14. Угловой коэффициент 

Теперь посмотрим, какое значение будет принимать функция , когда :

Мы получили, что графику прямой принадлежит точка , это его точка пересечения с осью ординат (Рис. 15).

Рис. 15. Значение линейной функции при 

Параллельность и пересечение прямых

Мы знаем, что на плоскости две прямые могут или пересекаться, или быть параллельными. Зададим условия, при которых графики двух линейных функций будут параллельны.

Прямые  и  будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты: . Например, ; ;  (Рис. 16).

Рис. 16. Параллельные прямые

---

Доказательство

Пусть у нас есть две различных прямых, у которых равны угловые коэффициенты (Рис. 1).

Рис. 1. Прямые с одинаковыми угловыми коэффициентами

Докажем, что эти прямые параллельны, методом от противного.

Пусть они непараллельны, т.е. пересекаются, тогда существует точка с абсциссой , в которой их значение совпадает (Рис. 2).

Рис. 2. Предположение, что прямые пересекаются в точке 

Перепишем в эквивалентном виде: .

Тогда , т.е. прямые совпадают. Получили противоречие, т.к. заданы разные прямые. Значит, наше предположение неверно, прямые не пересекаются, т.е. они параллельны.

---

Прямые  и  пересекаются тогда, когда их угловые коэффициенты не равны: . Например, ,  (Рис. 17).

Рис. 17. Пересекающиеся прямые

---

Перпендикулярность

Для пересекающихся прямых можно выделить особый случай, когда при пересечении получаются равные углы (прямые), т.е. прямые перпендикулярны (Рис. 1).

Рис. 1. Перпендикулярные прямые

Прямые  и  перпендикулярны, когда выполнено .

Пример 1

Графики этих функций действительно перпендикулярны (Рис. 2).

Рис. 2. Пример перпендикулярных прямых

---

Заключение

На этом уроке мы познакомились с линейной функцией (функцией, у которой при одинаковом изменении аргумента одинаково меняется значение самой функции).

Аналитически такие функции задаются уравнением , где  – произвольные числа,  – угловой коэффициент,  – свободный коэффициент.

Ее график – прямая. Чтобы его построить, достаточно найти две точки, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент – за точку пересечения графика функции с осью ординат.

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны () и пересекаются, если .

                             Удачного отдыха!!!